高斯分佈

高斯分佈

目的 

不管甚麼時候將小球往下倒,小球堆疊的圖形似乎都有一個趨勢,這是為什麼?觀察小球從落下到停止時的運動現象,思考其原理。

 

實驗 

實驗裝置:裝置上方擺著交錯的鐵柱,當球落下時會與鐵柱發生碰撞,裝置下方收集各個區塊落下的球。讓球自由向下掉落觀察球分佈的狀況。

 

 

原理思考 

為何球的分布總是呈現中間高而旁邊低的鐘型分布?

 

首先我們要先談到巴斯卡三角形,巴斯卡三角規則在於每一列的值都是上一列左邊右邊兩個值的和,如果以機率的角度就是上一列到下一列會有兩條路徑,走任一條路徑的機率都是50%。

gaussian distribution 01 

我們利用鐵柱模擬球可以有相等的機會往右、往左,所以我們可以預測圖形會類似巴斯卡三角型最後一列的數值作圖,如果把最後一列作成長條圖圖形就會類似常態分佈,當巴斯卡三角型的越多列,最後一列的圖形會逼近常態分佈的圖形。

常態分佈的公式 

為機率密度函數均值

為標準差

時我們稱之為標準常態分佈公式

利用標準常態的公式橫軸、為縱軸,就可以得到標準的常態分佈圖形。

 

討論 

1.圖形與理想分佈的差異來自於?

2.如果改變鐵柱的間距效果會如何?

 

我們利用希望球有對等的機率往右走往左走,機率只能預測結果並不等於結果,實際上要達到理想的狀況也是有一定的機率,因此圖形的分布也會每次也會不同。 如果改變的方式為垂直間的移動,垂直間距縮小,球的水平速度與垂直下落的速度一樣,那球要碰到旁邊的鐵柱因為垂直距離變短而比較難藉由兩側鐵柱往旁邊移動,因此圖形會有集中的現象,反之垂直間距變大圖形會有分散的趨勢。

 

關於實驗 

教具請置於水平面操作,注意塑膠球表面損耗影響實驗結果

 

參考資料 

維基百科 gaussian-distribution 

 

製作 

v.5邱瑋國

 

指導老師 

易台生、朱慶琪

 

撰稿 

 邱瑋國