錐擺——不同擺長的旋轉特性

錐擺——不同擺長的旋轉特性

 目的

演示轉動中的錐擺其擺長、質量、角速度等因素與擺錘垂直高度的關係。

 

實驗

實驗裝置:以三個相同質量的銅柱為擺錘,但長度不同的錐擺(conical pendulum),頂端連接在鐵環上。讓三個錐動擺以相同的角速度(也就是三個錐擺具有相同週期)繞轉軸作圓周運動,三個擺錘在旋轉時的垂直高度間會有什麼關係?

 

 

 原理思考

決定擺錘的高低有那些因素?

 

錐擺運動時的受力圖如下:

force analysis of conical pendulum

其中
 = 擺長與垂直線夾角

 = 擺錘質量
 = 重力加速度
 = 向心加速度

 = 旋轉角速度

= 旋轉半徑

= 擺長長度

= 運動時擺錘的垂直高度

分析上圖可知



其中向心加速度 

另旋轉半徑

故 

推得繩張力 

帶入(1)式可得 

故得知錐擺擺錘的垂直高度


從以上分析得知,擺錘的高度只和角速度及重力有關,與錐擺的擺長無關。

 

 討論

1.擺錘重量的不同是否會改變高度?

2.影片中擺錘為何不是完全的在同一水平面上?

 

1.由前面的結果得知支點到平面距離(即錐擺的垂直高度)為:


所以錐擺垂直的高度和角速度與所在位置的重力有關;質量不影響旋轉角度所以不改變錐擺的垂直高度。

2.我們擷取高速攝影機的圖片可以看見

analysis of conical pendulum

中柱偏移了,所以理論支點到實際支點位置多了一段距離,又因每個擺長與中柱的皆不同,所以可以看見擺長的[理論支點不共點],如果擺長不共支點那擺錘也就不會在同一水平面上。
因此支點到擺錘的垂直距離應該考慮系統上造成的誤差,錐擺擺錘的垂直高度=理論值-(理論支點道實際支點的高度差)。

 

 關於實驗

1.本實驗於2011全國物理教學及示範研討會中發表。

2.擺線選擇不易彎曲且質量較輕的材料為宜。

3.操作時三組擺錘要確定角速度要相同。

 

 參考資料

 ROTATING PENDULA – LENGTH VS. HEIGHT(University of Maryland Physics Lecture-Demonstration Facility)

Lecture Demonstration Analysis Sheet. Richard E. Berg

 Lee Larson and Roderick Grant, The Airplane Experiment, TPT 29, 564-565 (1991).

 

 製作

邱瑋國

 

 指導老師

朱慶琪


 撰稿

邱瑋國