科氏力

目的

演示在旋轉(rotation)的系統中科氏力(Coriolis force)的現象。

實驗

在一靜止的平台上，施放初速度為 $V_{0}$ 的鋼球，觀察其運動軌跡。

將平台分別向右、向左旋轉後，再次放初速為 $V_{0}$ 的鋼球，重新觀察其運動軌跡。

原理思考

為什麼球會自動轉彎，是誰給鋼球的力？

我們先來做個簡單的小實驗，準備一張紙跟一支筆，一手拿筆，一手旋轉放在桌面上的紙，在旋轉的同時，筆從紙上沿一固定方向畫（別盯著紙看，單純畫一直線），紙上的筆跡就是我們所看到鋼球的軌跡，但是剛剛明明就只有沿某一固定方向畫。利用這樣的方式是否較可以體會科氏力是假想力，是慣性座標下的運動，在旋轉座標下的表現。從影片中看到鋼在施放出去後並未再受到任何外加的力（或合力為零），在未受外力影嚮的情況下鋼球應該仍保持著原運動狀態，事實上鋼球是仍保持原狀態作等速直線運動，只是我們對鋼球加了假想力（科氏力）使其轉彎。

考慮一向量 $\tau = x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}$ ，在旋轉系統中，假設一不動的系統與旋轉系統有相同原點則不動系統中的 $r$ 要如何用轉動系統表示。

$\left ( \frac{dr}{dt} \right )fixed=\frac{d}{dt}\left ( \sum_{i}x_{i}e_{i} \right )= \sum_{i}\left ( x_{i}e_{i} +x_{i}e_{i}\right )= \tau _{\tau }+\sum_{i}cx_{i}e_{i},\tau _{\tau }=$ $\left ( \frac{dr}{dt} \right )rotating$

$e_{1}$ 隨著 $\omega _{3}$ 轉後的方向是 $e_{2}$ ，隨著 $\omega _{2}$ 轉後的方向是 $-e_{3}$ (參考下圖)

fig14

故 $\frac{de_{1}}{dt}= \omega _{3}e_{2}-\omega _{2}e_{3}$ ，

$\frac{de_{2}}{dt}= -\omega _{3}e_{1}+\omega _{1}e_{3}$ ，

$\frac{de_{3}}{dt}=\omega _{2}e_{1}-\omega _{1}e_{2}$ ，

$\Rightarrow e_{i}= \omega \times e_{i}$

$\Rightarrow\left ( \frac{dr}{dt} \right )fixed= \tau _{\tau }+\sum_{i}\omega \times x_{i}e_{i}= \tau _{\tau }+\omega \times r$

現在考慮在慣性座標下的旋轉系統中 $P$ 點的運動情形，也就是下圖的情況。

$\left ( \frac{dr{}'}{dt} \right )fixed= \left ( \frac{dR}{dt} \right )fixed+\left ( \frac{dr}{dt} \right )fixed=$ $\left ( \frac{dR}{dt} \right )fixed+\left ( \frac{dr}{dt} \right )rotating+\omega \times r$

fig23

設 $v_{f}\equiv r_{f}\equiv\left (\frac{dr{}'}{dt} \right )fixed$ ， $V\equiv R_{f}\equiv \left ( \frac{dR}{dt} \right )fixed$ ， $v_{r}\equiv r_{r}\equiv \left ( \frac{dr{}'}{dt} \right )rotating$

則 $v_{f}=V+v_{r}+\omega \times r$

若從牛頓力學出發，

$F= ma_{f}= m\left ( \frac{dv_{f}}{dt} \right )fixed$

其中， $R_{F}\equiv \left ( \frac{dV}{dt} \right )fixed$ ，

$\left ( \frac{dv_{r}}{dt} \right )fixed= \left ( \frac{dv_{r}}{dt} \right )rotating+\omega \times\upsilon _{r}= a_{r}+\omega \times \upsilon _{r}$ ，

$\omega \times \left ( \frac{dr}{dt} \right )fixed= \omega \times \left ( \frac{dr}{dt} \right )rotating+\omega \times \left ( \omega \times r\right )= \omega \times \upsilon _{r}+\omega \times \left ( \omega \times r\right )$